不过功夫不负有心人,后来他总算归纳出了一个规律:
a=3X2^(x-1)-1
=3X2^x-1
c=9X2^(2x-1)-1。
这里的x是大于1的自然数,若ac均为素数,那么2xa与2xc就是一堆友好数。
比如取x=2,那么a5,=11,c=71。
所以2×2×5×11=220和2×2×71=284为一对亲和数。
结论一出,证明了毕教主不是信口开河,亲和数的确存在,并且可以通过计算得到。
从这里起,故事开始有意思了起来……
自那以后。
数学家们不再没有头绪的寻找亲和数。
而是一边寻找更为简单的公式,一边通过公式大量计算来寻找亲和数。
但遗憾的是。
在之后800多年里,数学家们不仅没有优化全能王的公式,而且一对新的亲和数都没有找到.......
这也就是说。
在毕达哥拉斯之后2500年,没有人能够找到第二对亲和数的影子!
这个局面一直持续到了1636年,逼王费马闪亮登上历史舞台,一举打破了2500多年的历史尴尬。
这位“业余数学家”实在看不下去了,白天养家糊口,晚上计算亲和数,算的脑瓜子嗡嗡的。
最终在他算的满头白的时候,终于找到了第二对亲和数:
17296和18416。
接着继费马之后,笛卡尔也计算出了第三对亲和数:
9437056和9363584。
然后就是大挂逼、人形自走手稿打印机欧拉的登场:
他在1747年...也就是自己39岁的时候,一口气找到了30对亲和数!
接着大家还没有反应过来,甚至来不及鼓掌,他又宣布再次找到了30对.......
但到了这一步,亲和数就僵住了:
直到1923年,数学家麦达其和叶维勒才会出其不意、明修栈道暗度陈仓。
他们一口气将亲和数扩展到了1095对,其中最大的甚至达到了25位数。
在1747年到1923年之间,数学家们只用欧拉的公式计算出了217对亲和数。
当然了。
随着计算机被明出来后,亲和数的计算就简单许多了。
就像圆周率已经计算到了62.8万亿位一样,后世亲和数已经锁定到38万位数以上了。
你看,数字都有女朋友了,某些人却还是单身狗。
哦,徐云也是啊,那没事了。
总而言之。
在后世已经计算出大量亲和数的前提下。
徐云期待的并不是高斯的这卷手稿能给未来带去多大帮助,而是.......
高斯作为赫赫有名的数学王子,他对于亲和数到底有没有做过计算呢?
至少在徐云的认知里。
后世高斯的‘遗物’中肯定是没有这卷手稿的——至少已经公开的那些笔迹里找不到相关手稿的身影。
想到这里。
徐云不由看了眼高斯,说道:
“高斯教授,必须要选择好手稿后才能查看内容吗?”
高斯点了点头:
“当然,后续内容需要付费观看。”
高斯的回答在徐云的预料之中,所以他也没想着讨价还价啥的,当即答道:
“那么高斯教授,我选的第一份手稿就是它了。”
高斯见说摆了摆手,意思就是随你的便。
得到高斯的允诺后。
徐云郑重的将这卷手稿拿到了书桌边,小心的解封了起来。
绑缚手稿的道具是一根红丝线,徐云拿住丝线一头,像是解鞋带似的一拉。
咻——
手稿瞬间展开。
这份手稿意外的有些薄,大概就一两张的模样。
徐云依旧是戴着手套将其拿起,认真的看了起来。
手稿的开头记着几个数字,分别是:
220/284、2924/2620、17296/18416、9437056/9363584......
这几个数字没什么特别的,都是前人所计算出来的亲和数。
接着就是欧拉归纳出来的公式。
不过当徐云继续往下扫了几眼,他的呼吸便骤然停滞了几秒钟。
只见手稿的下半部,赫然写着几个数字:
5564/5020
6368/6232
10856/10744
14595/12285
18416/17296
.......
1000452085744/1023608366096
1001583011750/1019368284250.......
最后一组数字的末尾可以看到一个清晰的黑色小点,显然是钢笔笔尖留下的痕迹。
而在这组数字下方,还可以看到一道公式:
σ(z)=σ(x?y)= 1 +[σ(x)- 1]+[σ(y)- 1]+[σ(x)- 1][σ(y)- 1]=1 +σ(x)+σ(y)- 2 +σ(x)σ(y)-σ(x)-σ(y)+ 1 =σ(x)σ(y)
D(x)=x(1 +12+13+?+1x2)≈x[ln(x/2 + 1)+r]≈x(lnx- 0.116)。
另外在公式的右侧,还存在着几个龙飞凤舞的字母。
翻译成汉字便是:
【太简单不算了,无聊死个人】。
“.......”
徐云无语良久,随后抬起头看向了高斯。
高斯眨了眨眼:
“你瞅啥?”
徐云朝他轻轻扬了扬手中的手稿,对高斯说道:
“高斯教授,您这份手稿末尾的那句话......”
“哦,你说那个啊。”
高斯回忆了几秒钟,很快想起了徐云说的内容,便解释道:
“字面意思,当初我在收到约瑟夫寄来的欧拉手稿后花了两天...应该是两天时间吧,要不就三天——反正很快就算出了上百组的亲和数。”
“后来我原本想归纳出一道对应的公式,不过算了一半感觉太简单了,就把它放到了一边。”
“哦对了,波恩哈德在三年前也算出来了这个公式,他的评价是有手就行。”
徐云:
“.......”
高斯口中的约瑟夫就是约瑟夫·路易斯·拉格朗日,也是欧拉的爱徒,同样是一位青史留名的数学家。
他与欧拉的关系,差不多就相当于黎曼和高斯一般。
欧拉——拉格朗日——柯西,以及高斯——狄利克雷——黎曼,这算是近代数学很有名的两个传承派系。
另外在历史上。
拉格朗日也是欧拉手稿的继承者之一,他会寄信给高斯倒也正常。
只是......
高斯的这番话,未免也太td打击人了吧?
要知道。
哪怕是徐云穿越来的2022年,数学界也依旧没有一个统一的亲和数公式。
无论是欧拉还是叶维勒,他们的公式都有一定的失误率——例如欧拉便漏算了1184/1210这组数,直到1867年才由意大利的一个神童计算出来。
这个神童的名字叫做帕格尼尼,每次想到这个名字,徐云都会歪楼到猪柳蛋帕尼尼......
后世筛选亲和数靠的主要是约数和比较,也就是符合条件的输出YES,反之便是NO。
说难听点。
后世筛选的实质,其实就是穷举法。
结果在1850年这个时代,高斯和黎曼居然都推导出了亲和数的标准公式?
不过考虑到这二位在历史上的成就,加之欧拉已经推导出了部分亲和数公式......
好吧,他们能做到这一步似乎也没啥好意外的。
与此同时。
这也算是解开了一桩数学史上的谜题:
在计算机明之前,几乎每个数学流派都会在亲和数方面投入大量的精力和时间。
但唯独高斯的哥廷根数学派系除外。
无论是高斯本人,还是黎曼、雅可比、戴德金或者狄利克雷,他们全都没有留下过任何研究亲和数的作品或者记录。
这其实是一种很奇怪的现象,好比后世搞量子理论的大佬不去研究微扰论一样违和。
如今随着高斯的这番话,一切总算是真相大白了:
合着他们早就破解了亲和数的谜团,觉得太简单才没去管......
随后高斯看了眼有些意犹未尽的徐云。
沉吟片刻,主动来到皮箱边翻找了几下。
很快。
他便从中取出了另一册稍厚一些的手稿,递给了徐云,说道:
“罗峰,既然你对亲和数有兴趣,这卷手稿或许会符合你的口味。”
........
注:
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